Section01 Vectors and Linear Combinations

Two-dimensional vector $\boldsymbol{v}$

$$\boldsymbol{v} = \left[ \begin{matrix} v_{1}\\ v_{2} \end{matrix} \right]$$

Vector Addtion

$$\begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{v} = \left[ \begin{matrix} v_{1}\\ v_{2} \end{matrix} \right]\\ \boldsymbol{w} = \left[ \begin{matrix} w_{1}\\ w_{2} \end{matrix} \right] \end{array} \right.\\\\ \boldsymbol{v} + \boldsymbol{w} = \left[ \begin{matrix} v_{1} + w_{1}\\ v_{2} + w_{2} \end{matrix} \right] \end{array}$$

Scalar Multiplication

$$2 \boldsymbol{v} = \left[ \begin{matrix} 2v_{1}\\ 2v_{2} \end{matrix} \right] = \boldsymbol{v} + \boldsymbol{v}$$

$\boldsymbol{0}$

$$\boldsymbol{v} - \boldsymbol{v} = \left[ \begin{matrix} v_{1} - v_{1}\\ v_{2} - v_{2} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix} \right] = \boldsymbol{0}$$

Linear Combinations (two-dimension)

$$\text{the sum of } c \boldsymbol{v} \text{ and } d \boldsymbol{w} \Rightarrow c \boldsymbol{v} + d \boldsymbol{w}$$

• 如何表示二维向量(vector) $\boldsymbol{v}$
  • 两个数字
  • 一个从$(0,0)$开始的箭头
  • 二平面上的一点

Vector in Three Dimensions

$$c \boldsymbol{u} + d \boldsymbol{v} + e \boldsymbol{w}$$

• $c \boldsymbol{u}$ 可以表示过 $(0,0,0)$ 的一条直线上的任意一点
• $c \boldsymbol{u} + d \boldsymbol{v}$ 可以表示一个过 $(0,0,0)$ 的平面上的任意一点
• $c \boldsymbol{u} + d \boldsymbol{v} + e \boldsymbol{w}$ 可以表示三维空间内的任意一点

Examples

1. The linear combinations of $\boldsymbol{v} = (1,1,0)$ and $\boldsymbol{w} = (0,1,1)$ fill a place in $\mathbb{R}^{3}$.
   (1) Describe that plane. (2) Find a vector that is not a combination of $\boldsymbol{v}$ and $\boldsymbol{w}$ -- not on the plane.

   • Solutions

     • (1) $$c \boldsymbol{v} + d \boldsymbol{w} = c \left[ \begin{matrix} 1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right] + d \left[ \begin{matrix} 0\\ 1\\ 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} c \\ c + d \\ d \end{matrix} \right]$$

       • 如何表示一个平面? 用垂直其的一条向量$\boldsymbol{n}$表示 $$\left\{ \begin{array}{ll} \Vert \boldsymbol{n} \Vert > 0 \\ \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{v} = 0 \text{ and } \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{w} = 0 \end{array} \right.$$

     • (2)

       $\begin{array}{ll} \because & c \boldsymbol{v} + d \boldsymbol{w} = \left[ \begin{matrix} c \\ c + d \\ d \end{matrix} \right]\\ \therefore & \text{第二个元素不等于第一个和第三个元素和时，此点不属于} \boldsymbol{v} \text{ 和 } \boldsymbol{w} \text{组成的平面} \\ \end{array}$